Límites Trigonométricos

16 Feb

Los principales límites trigonométricos a utilizar son:

Lim cosx =1 Lim senx/x =1 Lim tanx/x =1

x – o x-0 x-0

PROPIEDADES DE LOS LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Límite de una constante:

Límite de una suma:

Límite de un producto:

Límite de un cociente:

Límite de un cociente

Límite de una potencia:

Límite de una función:

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz:

Limite de un logaritmo:

Ejemplo:

Consideramos la función definida por f(x)=x2-1 con dominio en R.

La representación gráfica es la siguiente:

LÍMITES LATERALES

Definición de límite por la derecha:

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $0<x-a<\delta$ entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon \;\; L$ es el límite por la derecha de en “a“.

Definición de límite por la izquierda:

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=R}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si $0<a-x<\delta$ entonces $\vert f(x)-R\vert<\varepsilon\cdot R$ es el límite por la izquierda de en “a“.

Ejemplo 1:

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función f definida por:

f(x) = { x + 2 si x mayor o igual que 1

{ -x2 -1 si x menor que 1

Gráfica de la función

El punto de discontinuidad se presenta cuando x = 0
Luego: lim f(x) = 3 y lim f(x) = -2

x-1+ x-1-
El límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).

Ejemplo 2:

Representemos gráficamente la función definida por:

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-2 & \mbox{si} & x<2 \\ x & \mbox{si} & 2<x<4 \\ 4-x & \mbox{si} & x\geq 4 \end{array}\right.$

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=2}$ , entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=2}$

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{+}}}{f(x)}=0}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{-}}}{f(x)}=4}$ , entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{f(x)}}$ no existe.