Límites Trigonométricos

16 feb

Los principales límites trigonométricos a utilizar son:

Lim cosx =1                  Lim senx/x =1              Lim tanx/x =1

x – o                                  x-0                                  x-0

PROPIEDADES DE LOS LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Límite de una constante:

Límite de una constante

Límite de una suma:

Límite de una suma

Límite de un producto:

Límite de un producto

Límite de un cociente:

Límite de un cociente

Límite de una potencia:

Límite de una potencia

Límite de una función:

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz:

Límite de una raíz

Limite de un logaritmo:

Límite de un logaritmo

Ejemplo:

Consideramos la función definida por f(x)=x2-1 con dominio en R.

La representación gráfica es la siguiente:

LÍMITES LATERALES

Definición de límite por la derecha:

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
>0$” width=”33″ height=”24″ align=”middle” border=”0″ /> tal que si<img src= entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon \;\; L$ es el límite por la derecha de $f(x)$ en “a“.  

Definición de límite por la izquierda:

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=R}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
>0$” width=”33″ height=”24″ align=”middle” border=”0″ /> tal que si<img src= entonces $\vert f(x)-R\vert<\varepsilon\cdot R$ es el límite por la izquierda de $f(x)$ en “a“.

Ejemplo 1:

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la funcióndefinida por:

f(x) = { x + 2 si x mayor o igual que 1

{ -x2 -1 si x menor que 1 

Gráfica de la función

El punto de discontinuidad se presenta cuando x = 0
Luego: lim f(x) = 3 y lim f(x) = -2

x-1+                  x-1-
El límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).

Ejemplo 2:

Representemos gráficamente la función definida por:

$f(x)=\left\{<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
\begin{array}{ccc}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
x^{2}-2 & \mbox{si} & x<2 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
x & \mbox{si} & 2<x<4 \\<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
4-x & \mbox{si} & x\geq 4<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
\end{array}\right.$” width=”197″ height=”59″ align=”middle” border=”0″ /></p>
<p><img src=

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=2}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=2}$

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{+}}}{f(x)}=0}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{-}}}{f(x)}=4}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{f(x)}}$ no existe.

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